B/le modele de Wright Fischer (1930) et simulation informatique        d'une dérive génétique

 

 

                                                    1/ hypothèses du modèle de Wright-Fischer

 

Plus de 20 ans après Hardy-Weinberg ,Wright et Fisher ont établi un modèle permettant de décrire l'évolution des fréquences allèliques d'une population d'effectif fini.

La population est considérée de taille constante .Les individus se reproduisent une unique fois et au même moment:on parle de générations non chevauchantes.

Chaque gène à une génération t+1 est la copie d'un géne de la génération précedente t

Il n'y a ni mutation ,ni selection,ni migration .

Ces hypothèses ont pour but de simplifier les calculs (17)

 

 

 

                                                     2/ notion d'urne gametique

 

 

Pour permettre un traitement mathématique pas trop compliqué, on modélise la transmission des gènes d'une génération à l'autre de façon très schématique. Ce modèle est une simplification considérable du cycle de reproduction des populations naturelles. Dans ce cas, une population isolée de N individus diploide peut êre représentée par 2N copies alléliques. (8)(17)

On s'intéresse au cas le plus simple de deux allèles A et a répartis dans cette population de N individus

Constituer la génération t+1 revient donc à tirer au hasard 2N gamètes de la génération t dans une urne gamétique de taille infinie puisque chaque individu produit un nombre considérable de gamètes. Ceci permet également de garder la même fréquence des allèles A et a au cours des N tirages .Ce qui équivaut en probabilité au cas d'un tirage avec remise de N boules dans une urne contenant N boules A ou a.

On obtient à t+1 une nouvelle proportion d'allèle A et a .On refait un nouveau tirage de la même manière dans l'urne gamétique t+1 pour générer la génération t+2 et ainsi de suite pour un grand nombre de générations afin de simuler l'évolution de cette population.

Avec ces hypothèses ,la modélisation mathématique de l'évolution de la fréquence des allèles A et a constitue le modèle de Wright-Fischer

 

             3/ simulation informatique de l'évolution d'une population type du modèle de Wright-Fischer

 

La programmation informatique de ces tirages successifs permet d'accélerer considérablement l'obtention des résultats et d'effectuer de nombreuses experiences comparatives

Nous avons établi un programme en langage Python permettant de faire faire à la machine ces tirages successifs avec remise. Pour obtenir ces résultats, veuillez utiliser les paramètres suivants dans le programme(cf annexe programmation)

et dans le menu veuillez utiliser l'option 4:

 

 

 

 

 

 

:

 

• • • • • • • • faire plusieurs simulations,correspondant à autant d'echantillons d'individus possibles issus de tirages aléatoires .Ce qui permet d'établir empiriquement des propriétés liées à ce type d'expèrience de probabilité.

              • simuler de nombreuses générations

              • pouvoir faire varier la population N afin d'en évaluer l'influence sur les variations de fréquences alléliques

 

Cette simulation a pour but de répondre aux intérrogations suivantes:

 

• • • • • • • • Comment va évoluer les fréquence alléliques donc par voie de conséquence la diversité génétique d'une population d'effectif fini non soumise au pression de la selection naturelle (il n'y a pas d'avantage reproductif assignée aux différent allèle A et a) ,ni de mutations (de nouvelles allèles n'apparaissent pas) ou de migrations ( N étant constant) ?

                 

              • Le modèle décrit par Wright-Fischer étant basé sur les probabilités quelle est l'influence du facteur hasard sur la diversité génétique d'une population de taille finie ?

 

 

 

 

                                                                      4/ résultats

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour la simulation ci-dessus N est petit.Chaque courbe correspond à la fréquence de l'allèle A (courbe verte) et de l'allèle a (courbe bleu)

Nous constatons une évolution brutale et imprévisible des fréquences alléliques d'une génération à l'autre.Les courbes divergent .On observe une fixation des allèles A (fréquence de A=1) ou de a (fréquence A=0) en moins de 70 générations.Il y a donc relativement rapidement (selon l'echelle de l'évolution) disparition d'un des deux allèles.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec une population de 500 individus ,aucune fixation d'allèle n'a eu lieu au bout de 100 générations .Les variations des fréquences alléliques sont de plus faibles amplitudes et divergent relativement faiblement autour de la fréquence initiale (0,5) .En observant les courbes des différentes évolutions simulées on constate que la moyenne des fréquences allèliques tend vers la fréquence initiale de 0,5.

 

 

Ces deux simulations peuvent être répétées un grand nombre de fois , les courbes ont toujours la même allure:

divergence forte pour N faible ,peu de divergence pour N élevé

 

                                                                        5/synthèse

 

 

Ces simulations nous permettent de mettre en évidence plusieurs phénomènes très interessants :

 

                                                     - une divergence des fréquences alléliques des populations filles par rapport à la population mère d'origine .On peut qualifier cette divergence de dérive

• • • • • • • • • - cette dérive est d'autant plus marquée et rapide que la taille de la population est faible. Elle est donc inversement proportionnelle à l'effectif N.

 

                                                      - cette dérive semble liée au caractère imprévisible des tirages aléatoires d'une génération à l'autre entrainant de brusques variations des fréquences alléliques .D'ailleurs ces variations brutales sont également inversement proportionnelles à N ce qui va dans le sens d'un lien de cause à effet entre dérive et ces variations si marquées d'une génération à l'autre .

 

Donc ,dans cette simulation selon le modèle de Wright-Fisher (c'est à dire correspondant à l'évolution d'une population de taille constante sans mutation ni sélection ) les fréquences allèliques dérivent (augmentent ou baissent) inévitablement juqu'a la fixation d'un allèle donc la disparition de l'autre .Cette dérive conduit à la perte de variation génétique à l'interieur des populations.Elle est liée à des phénomènes purement aléatoires (dit « stochastiques »).Et enfin cette dérive est plus marquée pour des populations de faible effectif.

 

Ce phénomène de divergence révélé par cette simulation est appelée DERIVE GENETIQUE.

 

Cette dérive semble responsable des résultats opposés entre le modèle de Hardy-Weinberg (pour lequel les fréquences alleliques donc la diversité génétique ne varient pas au cours du temps ) et celui de Wright-Fischer qui montre une importante variation de ces mêmes frequences alléliques entrainant un appauvrissement génétique .

 

Comment l'expliquer ? Les deux modèles ont pour hypothèses communes de s'affranchir des autres forces évolutives (mutation,selection...) mais diffèrent sur une hypothèse qui doit donc être primordiale pour expliquer une telle différence de résultat:La taille de la population , infinie pour Hardy-Weinberg ,finie et constante pour Wright-Fisher. Comment expliquer que cette dérive dépende de la taille de la population ?

La dérive génétique semble liée au hasard ,elle doit donc pouvoir être décrite par une approche probabilistique.(17)(8)